« 22 »  05  20 15 г.




Решение дробных рациональных неравенств

Решим неравенство: Решение Раскроем модули. Первый урок по теме: Решение дробных рациональных уравнений. Тогда должны выполняться следующие условия: Итак, при решения первого неравенства являются решениями второго. Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части, отрицателен, следовательно, левая часть неравенства не может изменить знак, то есть сохраняет постоянный знак при любом значении х. Но мы уже умные, и не будем этого делать. Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяляются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение. Решим неравенство: Решение Приведем данное неравенство к виду стандартному для решения методом интервалов: Построим разбиение числовой прямой на промежутки: Заметим, что масштаб в данном случае соблюдать совсем необязательно, но отдельные принципиальные детали, относящиеся к уровню общей графической культуры, соблюдать конечно следует. Вы получите корни точки пересечения с осью ОХ , производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы. U и v — хотя и неизвестные, но постоянные величины, ибо х0 — постоянная, а отнюдь не переменная величина. С учётом того, что знаки промежутков строго чередуются, и на крайнем правом промежутке стоит знак «+» см.

Целые рациональные неравенства — разновидность рациональных неравенств в которых отсутствует операция деления на выражение содержащее переменную. Решим неравенство: Решение Раскроем модули. Отметим, что при таком способе решения не требуется проверка корней, так как среди них не может быть посторонних — при каждом из найденных значений х модуль выражения x 2 + 2x — 16 равен 8. Однако метод интервалов дал бы неверный результат, если бы среди корней многочленов были кратные корни, а это значит, что в левой части неравенства не только линейные множители. Самостоятельно можно проверить знаки методом пробной точки Рис. Решим неравенство: Решение Приведем данное неравенство к виду стандартному для решения методом интервалов: Построим разбиение числовой прямой на промежутки: Заметим, что масштаб в данном случае соблюдать совсем необязательно, но отдельные принципиальные детали, относящиеся к уровню общей графической культуры, соблюдать конечно следует. Решив первое уравнение системы, получаем корни:. Действительно, возьмите любое число, например, 0, подставьте в , — получите -7.

Осталось записать ответ: Ответ:. Если все множители в левой части имеют первую степень, то остаточно найти знак в каждом промежутке, а потом учесть, что она меняет знак при переходе от одного промежутка к соседнему, и нарисовать «кривую знаков». Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Получаем, что левая часть поменяла знак на. Теперь найдем пересечение решений неравенств. Это не совсем правомерно. Решим систему неравенств: Решение Решим каждое из неравенств системы.

Дробно- рациональное неравенство , это такое неравенство, в котором есть операции деления на выражение, содержащее переменную. Δ Приведём неравенство к стандартному виду. Решение Выполним последовательно пункты приведенной «инструкции»:. Потому что при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, а на отрицательное — меняется на обратный. Эти числа разбивают числовую ось на пять промежутков: Выбрав в каждом промежутке контрольную точку, определим знак функции, стоящей слева нашего неравенства. Для его решения: 1 отметим на числовой прямой точки, соответствующие числам x 1, x 2, x 3,…, x n, разбив тем самым всю числовую прямую на промежутки интервалы ; причем, если знак неравенства строгий, то точки отмечаются выколотыми, если знак неравенства нестрогий, то точки отмечаются сплошными; 2 на каждом из полученных промежутков выражение будем сохранять свой знак постоянным; расставим эти знаки пользуясь правилом чередования знаков: а в крайнем правом интервале всегда знак «плюс»; б при переходе через простую точку знак меняется, на противоположный; в при переходе через двойную точку знак сохраняется; 3 после того как знаки всех промежутков определены с полученного рисунка, считывается решение неравенства; ответ записывается в виде объединения промежутков. Итак, если корень повторяется четное число раз, то при переходе через него знак дроби произведения не меняется. Для применения метода нужно преобразовать неравенство так, чтобы в правой его части стоял 0, а левая была произведением нескольких множителей или дробью, числитель и знаменатель которой разложены на множители.

Так называются неравенства, содержащие рациональные или дробно-рациональные выражения, зависящие от переменной. Если имеются кратные корни, над критической точкой появляется то количество «лепестков», какова степень множителя. Найдем пересечение решений неравенств: Таким образом, решение системы, то есть решение данного двойного неравенства: Ответ: Пример 5. В дальнейшем такие корни, если они найдутся, мы будем называть кратными хотя это не совсем точно. Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах: Последовательно решим три системы неравенств. Решим уравнение: Решение Левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Решить неравенство: Решение: Исходное неравенство равносильно следующему: Разложим на множители последнюю скобку неравенства:. Ответ: Найти число натуральных решений неравенства Ответ: 2.




Мария Соколова

Решая б систему, получим : Осталось объединить решения, полученные в обоих случаях :. В частности, из ОДЗ исключаются те значения х, при которых хотя бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение, обращается в 0.